 |
 |
|
Existing applicants/evaluators log in here
|
|
Cooperability
| Project leader: |
Maja Resman |
| Project co-leader: |
Pavao Mardešić |
| Administering organization: |
University of Zagreb, Faculty of Science
Address: Horvatovac 102a, 10000 Zagreb |
| Partner Institution/Company: |
Université de Bourgogne, Institut de Mathématiques de Bourgogne, Dijon, France |
| Grant type: |
1C |
| Project title: |
Classifications of Dulac maps and epsilon-neighborhoods (Klasifikacije Dulacovih preslikavanja i epsilon-okoline) |
| Project summary: |
The project is a fundamental research project in mathematics aimed at applying mathematical analysis tools in understanding the qualitative behaviour of dynamical systems. The dynamical systems are mathematical models given as systems of differential equations whose solutions describe natural processes. Our motivation comes from bifurcation theory of dynamical systems. The most important question is the question of stability with respect to the parameters: can one predict how small changes in parameters will influence the long-term behaviour of solutions. Qualitative theory is concerned with describing the evolution of solutions in time without explicitly solving the equations. In particular, to understand bifurcations, one can measure the complexity of attractors of trajectories by the number of closed orbits they bifurcate into by parameter changes. Even in very specific and seemingly simple models in the plane, this question is open (the famous open Hilbert’s 16th problem).
One-dimensional representation of a system close to an attractor is given by the function called the Poincaré map. The question of understanding bifurcations of systems is translated into question of understanding intrinsic properties of families of Poincaré maps. We study a special type of this function, the so-called Dulac map, which corresponds to attractors of saddle polycycle type. To understand this function more deeply, with collaborators from geometry and dynamical systems group at the Institut de Mathématiques de Bourgogne, Dijon, we would like to find a simple form to which it can be translated, at the same time requesting that the translation preserves properties of the original function. That is, as our final goal, we would like to describe the analytic class of Dulac maps, as one step toward understanding bifurcations of saddle polycycles.
Dynamical systems are currently an important and quickly developing branch of mathematics in the world, with non-neglectable applications to technology. Given the fact that in Croatia there is only a small group of people working in the field, one aim of this project is to contribute to its propagation in Croatia and to its visibility among students and future scientists by three means:
1. Strengthening the leader and the whole group by means of new collaborations, through the proposed mobility program,
2. Organizing a Dynamical systems workshop and inviting foreign experts to give courses aimed at postgraduate / doctoral students and young researchers,
3. Equipping the Central mathematical library with modern books and textbooks in the field.
|
| Hrvatski sažetak: |
Projekt je znanstveni projekt iz polja matematike u kojem se koriste tehnike iz matematičke analize s ciljem utvrđivanja kvalitativnog ponašanja dinamičkih sustava. Dinamički sustavi su matematički modeli dani u obliku sustava diferencijalnih jednadžbi čija rješenja opisuju prirodne pojave i procese. Naša motivacija dolazi iz teorije bifurkacija dinamičkih sustava. Najvažnije pitanje je pitanje stabilnosti u ovisnosti o parametrima, tj. možemo li predvidjeti kako male promjene parametara sustava utječu na ponašanje njegovog rješenja u vremenu. Kvalitativna teorija bavi se opisivanjem rješenja u vremenu, bez eksplicitnog rješavanja jednadžbi.
Za bolje razumijevanje bifurkacija pomaže nam mjerenje složenosti atraktora sustava prema broju zatvorenih periodičkih orbita koje iz njega nastaju promjenama parametara. Čak i u vrlo specijalnim i na prvi pogled jednostavnim ravninskim modelima to pitanje je otvoreno (poznati otvoreni 16. Hilbertov problem).
Jednodimenzionalni ‘predstavnik’ sustava u blizini atraktora dan je funkcijom povrata ili Poincaréovim preslikavanjem. Pitanje razumijevanja bifurkacija sustava prevodi se na taj način u pitanje razumijevanja svojstava familija Poincaréovih preslikavanja kao familija funkcija. Mi promatramo jedan specijalan tip takvih funkcija, tzv. Dulacova preslikavanja. Ona se javljaju oko atraktora tipa policiklusa sa sedlastim vrhovima. Da bismo bolje razumjeli takve funkcije, sa suradnicima iz područja geometrije i dinamičkih sustava iz Dijona, Institut de Mathématiques de Bourgogne, nastojimo pronaći jednostavne oblike u koje ih možemo prevesti zamjenama varijabli, istovremeno zahtijevajući da zamjene varijabli čuvaju bitna svojstva početne funkcije. Kao konačni cilj željeli bismo opisati analitičke klase Dulacovih preslikavanja, kao jedan korak prema razumijevanju bifurkacija policiklusa tipa sedla.
Dinamički sustavi su trenutno važna grana matematike koja se u svijetu intenzivno razvija, sa nezanemarivim primjenama u tehnologiji. Obzirom da u Hrvatskoj postoji relativno mali broj znanstvenika u tom području, cilj ovog projekta je i doprinijeti jačanju područja u Hrvatskoj i njegovoj vidljivosti među studentima i budućim znanstvenicima. To želimo postići na tri načina:
1. Znanstvenim jačanjem voditelja projekta uspostavom novih suradnji kroz predloženi program mobilnosti,
2. Organiziranjem radionice u području dinamičkih sustava, te pozivanjem stranih stručnjaka da održe serije predavanja čija su predviđena publika diplomski studenti, doktorandi i mlađi znanstvenici,
3. Opremanjem Središnje matematičke knjižnice modernim knjigama i udžbenicima u području dinamičkih sustava.
|
| Amount requested from UKF: |
260000 |
| Amount of matching funding: |
52000 |
|
|
|
